Dank voor alle reacties!
De problemen zijn inmiddels grotendeels verholpen. We hebben, zoals een aantal van jullie al aangaf, nog geen load balancing te hoeven toepassen, dus bedankt voor dit goede advies.
Ten eerste zijn we de belangrijkste pagina's (meeste bezoekers komen alleen op onze homepages, en zijn niet ingelogd) structureel elke minuut (omdat de content wel steeds kan veranderen) volledig gaan cachen in html files. Dit zorgt ervoor dat we het overgrote deel van de bezoekers eenvoudige gecachete html pagina's kunnen voorschotelen in plaats van ze steeds met php te genereren.
Daarnaast hebben we gzip compressie aangezet en hebben we wat expire headers gezet op JavaScript en afbeeldingen.
Ook de webhoster waar we de server huren heeft nog wat aanpassingen gedaan. Ik meen dat hij het erover had dat ze onder andere "het aantal connecties flink hadden opgehoogd". Ik wil dit binnenkort nog even een keer navragen om wat meer details hierover te krijgen.
We zijn in ieder geval een eind in de goede richting, bedankt voor jullie tips!